Trachtenberg tizimi: 11, 12, 9 va 6 ga qog'ozsiz ko'paytirish
Trachtenberg tizimi — bu tez hisoblash usullari orasida eng g'ayrioddiy tarixga ega bo'lgani. Uni rus muhandisi Yakov Trachtenberg (1888-1953) natsistlar konslagerida, qog'oz va qalamsiz, faqat xayolida ishlab chiqqan. Hisoblash uning uchun aqlni saqlab qolish vositasi bo'lgan. Urushdan keyin, 1950-yilda u Syurixda matematika institutini ochdi va tizimini bolalarga o'rgata boshladi.
Tizimning asosiy g'oyasi shunday: ko'paytirish jadvalini yodlash shart emas — har bir ko'paytuvchi uchun oddiy, mexanik qoida bor. Bola faqat qo'shish, ikkilantirish va yarmini olishni bilsa yetarli.
Asosiy tushuncha: "qo'shni"
Trachtenberg qoidalarida qo'shni deb sonning har bir raqamidan o'ngdagi raqamga aytiladi. Eng o'ngdagi raqamning qo'shnisi — 0. Hisoblash har doim o'ngdan chapga boradi, javob esa xuddi shu tartibda yoziladi.
1. 11 ga ko'paytirish: qo'shningni qo'sh
Qoida: har bir raqamga uning qo'shnisini qo'shing.
Misol: 3425 × 11.
- 5 (qo'shnisi yo'q) → 5
- 2 + 5 = 7
- 4 + 2 = 6
- 3 + 4 = 7
- chap chekka: 3 → 3
Javob: 37675. Agar yig'indi 10 dan katta bo'lsa, birlikni yozib, o'nlikni keyingi qadamga o'tkazasiz: 87 × 11 da 7 → 7; 8 + 7 = 15 → 5 yozamiz, 1 o'tadi; chap chekka 8 + 1 = 9 → 957.
2. 12 ga ko'paytirish: ikkilantir va qo'shningni qo'sh
Qoida: har bir raqamni ikkiga ko'paytiring va qo'shnisini qo'shing.
Misol: 314 × 12.
- 2×4 + 0 = 8
- 2×1 + 4 = 6
- 2×3 + 1 = 7
- chap chekka: 3 → 3
Javob: 3768. Tekshirib ko'ring: 314 × 12 = 3768. Xuddi shu mantiq bilan 13 ga (uchlantir va qo'shni), 14 ga (to'rtlantir va qo'shni) qoidalari ham ishlaydi.
3. 9 ga ko'paytirish: uch bosqichli qoida
Bu eng chiroyli qoidalardan biri:
- eng o'ngdagi raqam: uni 10 dan ayiring;
- o'rtadagi raqamlar: har birini 9 dan ayiring va qo'shnisini qo'shing;
- chap chekka: birinchi raqamdan 1 ni ayiring.
Misol: 623 × 9.
- 10 − 3 = 7
- 9 − 2 + 3 = 10 → 0 yozamiz, 1 o'tadi
- 9 − 6 + 2 = 5, o'tgan 1 bilan 6
- chap chekka: 6 − 1 = 5
Javob: 5607. Haqiqatan ham 623 × 9 = 5607.
4. 6 ga ko'paytirish: qo'shnining yarmi
Qoida: har bir raqamga qo'shnisining yarmini qo'shing (kasr qismini tashlab yuboring), agar raqamning o'zi toq bo'lsa — yana 5 qo'shing.
Misol: 42 × 6.
- 2: qo'shnisi 0, o'zi juft → 2
- 4: qo'shnisi 2, yarmi 1 → 4 + 1 = 5
- chap chekka: 4 ning yarmi = 2
Javob: 252. Xuddi shu mantiqda 5 ga ko'paytirish qoidasi ham bor: qo'shnining yarmini oling, toq raqamga 5 qo'shing.
Bu tizim kimga foydali?
Trachtenberg usuli ayniqsa ikki toifaga yaxshi keladi. Birinchisi — karra jadvalini yodlashda qiynalayotgan bolalar: qoida yodlashdan ko'ra mexanik va ishonchli, natijada bola o'ziga ishonch topadi. Ikkinchisi — allaqachon yaxshi hisoblaydigan bolalar: bu usul ularga sonlarni yangi rakursdan ko'rishni o'rgatadi.
Halol bo'lgan holda aytish kerak: Trachtenberg qoidalari universal emas. Har bir ko'paytuvchi uchun alohida qoida bor va ularning barchasini yodlash o'zi katta ish. Shu sabab amaliyotda odatda eng foydalilari — 11, 12, 9 va 6 — o'rganiladi, qolgani uchun esa vedik matematikaning universal usullari qulayroq.
Qanday mashq qilish kerak
Bitta qoidani tanlang va uni bir hafta davomida faqat ikki xonali sonlarda mashq qiling. Bola qoidani ovoz chiqarib aytsin. Ikkinchi haftada uch xonali sonlarga o'ting, uchinchisida yangi qoidaga. Bir vaqtda ikkita qoidani o'rganish — eng ko'p uchraydigan xato: bola ularni chalkashtirib yuboradi.
MentalMath'da har bir qoida uchun alohida interaktiv dars va trenajyor bor: Sehrli 11, 9 ga ko'paytirish, 12 ga ko'paytirish. Umumiy tez hisoblash usullari haqida esa alohida maqolamiz bor.
